Numerische Analyse

Näherungsweise Berechnung von Lösungen durch Methoden der Numerik

Neben den beiden traditionellen Analyseverfahren – der Fundamentalanalyse und der technischen Analyse – sind in der Grundlagen-Forschung zur modernen Finanz- und Wertpapieranalyse in den letzten Jahrzehnten komplexe finanzmathematische Modelle entwickelt worden. In den 1960er Jahren wurde bereits mit dem Capital Asset Pricing Modell ein maßgebendes mathematisch-statistisch fundiertes Modell zur Wertpapierbewertung vorgestellt.

Einen weiteren Durchbruch in dieser Hinsicht brachte die 1973 veröffentlichte Arbeit von Fischer Black und Myron Samuel Scholes zur Bewertung von Finanzoptionen. Die Black-Scholes-Formel ist bis heute Standard bei der Optionsbewertung und findet auch darüber hinaus Anwendung in der Finanztheorie. Ihre Entwicklung gilt als Meilenstein für die sogenannte numerische Analyse. Die Nutzung numerischer Verfahren und Methoden aus der Mathematik dient zur Bewertung von Aktien und Aktienderivaten sowie zur Modellierung von Kursverläufen.

Was ist die numerische Analyse?

Die numerische Analyse basiert auf der Numerik, einem wichtigen Teilgebiet der Mathematik. Was ist Numerik? Sie befasst sich, ganz allgemein gesprochen, mit der Analyse und Konstruktion von Algorithmen (= Rechenlösungen) für Aufgaben, die ein kontinuierliches mathematisches Problem darstellen. „Kontinuierlich“ bedeutet in diesem Zusammenhang, dass es um unendlich fein aufgeteilte, lückenlose mathematische Konstrukte (Kurven, Geraden, Linien, usw.) geht – im Gegensatz zu diskreten Aufgabenstellungen mit abzählbaren Zahlenwerten (Zahlenreihen, Zahlenfolgen, usw.). Der Mathematiker drückt dies exakt so aus, dass ein Kontinuum die gleiche Mächtigkeit wie die Menge der reellen Zahlen besitzt. Aktienkurse und Kursverläufe können dabei als Kontinuum gesehen werden. Sie sind daher prinzipiell für Rechnungen mit Hilfe der Numerik zugänglich.

Als numerisch werden in diesem Sinne Methoden bezeichnet, die zur Lösung eines kontinuierlichen mathematischen Problems führen. Häufig kann die Lösung in der Numerik nicht durch einfaches „Ausrechnen“ gefunden werden. Es ist vielmehr nötig, sich über ein numerisches Verfahren dem tatsächlichen Ergebnis mit hinreichender Genauigkeit schrittweise und approximativ zu nähern. Für eine solche näherungsweise Vorgehensweise gibt es zahlreiche Iterationsverfahren. Die Bezeichnung „Iterationsverfahren“ bedeutet nichts anderes als schrittweise Berechnung, die zur „exakten“ Lösung konvergiert. Im Vor-Computer-Zeitalter war die näherungsweise Lösung ein mühsames Unterfangen, heute stellt es keine Schwierigkeit mehr da, ein numerisches Verfahren anzuwenden.

Bezogen auf Aktien und Aktienkurse bedeutet dies, dass ein numerisches Verfahren für die Bewertung von Aktien oder die Analyse von Kursverläufen eingesetzt wird. Durch die „Berechnung“ erhofft man sich, zu einer „objektiven“ Aussage zu gelangen, ohne auf subjektive Einschätzungen, Erwartungen oder auf Prognosen mit Fehlerrisiko angewiesen zu sein wie bei traditionellen Analyse-Methoden. Enge Verbindungen bestehen bei der numerischen Analyse auch zur Stochastik bzw. zur mathematischen Statistik. Bei der Statistik insbesondere zum Verfahren der Schätz- und Testtheorie.

Hinweis

Erklärung Schätztheorie: In der Schätztheorie wird versucht, aufgrund der festgestellten Merkmalsausprägungen einer Stichprobe mittels einer Schätzfunktion Aussagen über die Eigenschaften einer unbekannten Grundgesamtheit zu treffen. Auch historische Aktienkurse können als Stichprobe für Erkenntnisse über einen Aktienwert dienen.

Wie funktioniert die numerische Analyse?

In der numerischen Mathematik gibt es nicht „ein“ numerisches Verfahren, das man lernen kann. Es sind vielmehr Dutzende von Methoden entwickelt worden, um unterschiedliche mathematische Fragestellungen zu lösen. Eines der vielen Standard-Verfahren ist z.B. das Newtonverfahren – ein Iterationsverfahren zur numerischen Lösung von nicht-linearen Gleichungen. Neben dem Newtonverfahren existieren aber zahlreiche weitere Ansätze, um nicht-lineare Gleichungen näherungsweise zu lösen und diese sind wiederum nur ein numerisches Problem von vielen. Von daher lässt sich auch keine generelle Aussage treffen wie die numerische Analyse funktioniert. Das hängt vielmehr von der jeweiligen Aufgabenstellung und ihrem Lösungsweg ab.

Beispiel

Das Newtonverfahren wird häufig zur Berechnung von Nullstellen bei nichtlinearen Funktionen eingesetzt. Ausgehend von der Tangente an einem beliebigen Punkt der Funktion wird deren Nullstelle berechnet. Der entsprechende Funktionspunkt dient dann als Ausgangspunkt für das Anlegen einer weiteren Tangente, für die wiederum die Nullstelle berechnet wird usw… So nähert man sich schrittweise (= iterativ) dem tatsächlichen Nullpunkt an.

Ein weiterer Anwendungsfall der numerischen Mathematik in der Finanztheorie ist das bereits erwähnte Black-Scholes-Modell zur Optionsbewertung. Der Grundgedanke des Modells besteht in der Konstruktion eines „risikolosen“ Portfolios, das aus einem Basiswert (z.B. Aktie) und einer darauf bezogenen Option besteht. Beim Aktienkurs wird unterstellt, dass er einem Wiener Prozess folgt. Darüber hinaus gelten weitere idealtypische Annahmen.

Hinweis

Erklärung Wiener Prozess: Ein nach dem US-Mathematiker Norbert Wiener benannter stochastischer Prozess. Er beschreibt normalverteilte, unabhängige Zuwächse bei zeitstetigen Prozessen, als die zum Beispiel Kursverläufe interpretiert werden können, als mathematisches Modell.

Davon ausgehend lässt sich ein „fairer“ theoretischer Wert der Option berechnen. Maßgebliche Einflussfaktoren für die Berechnung sind der Kurs des Basiswertes, der Basispreis, die Restlaufzeit der Option, der risikofreie Zinssatz und die erwartete Volatilität des Basiswertes. Das Black-Scholes-Modell stellt dabei den „verstetigten“ Grenzfall eines diskreten Binomialmodells zur Optionsbewertung mit immer kleineren Handelsintervallen dar. Zur Berechnung des „stetigen“ Optionswertes gelangt man mit Hilfe von geeigneten Iterationsverfahren. Für diese näherungsweise Lösung gibt es in Bezug auf das Black-Scholes-Modell mehrere Ansätze.

Welches Ziel verfolgt die numerische Analyse?

Die numerische Analyse will mathematisch-statistisch begründete „objektive“ Aussagen zum Aktienwert treffen, die ebenso unabhängig von kurzfristigen Kursschwankungen oder länger andauernde Trends wie von subjektiven Einschätzungen sind. Im Unterschied zur Fundamentalanalyse verzichtet sie darauf, den Aktienwert betriebswirtschaftlich unterlegen zu wollen. Sie unterstellt vielmehr implizit, dass sich in den Aktienkursen alle relevanten Informationen bereits widerspiegeln, die Finanzmärkte also effizient sind. Kursschwankungen unterliegen danach stochastischen Zufallsprozessen. Beobachtete Kursverteilungen in der Vergangenheit sind als eine Art „Stichprobe“ zu werten, aus denen sich schätztheoretisch auf den „fairen“ Wert schließen lässt.

Im Unterschied zur charttechnischen Analyse verzichtet die numerische Analyse auf Kursprognosen auf der Basis von historischen Kursmustern und Trendverläufen. Der gleitende Durchschnitt, der in der Charttechnik eine so große Rolle spielt, ist hier völlig unbeachtlich. Berührungspunkte bestehen im Rückgriff auf die Stochastik bei der Bewertung von Finanztiteln, die Methoden und die damit verfolgten Ziele sind aber sehr unterschiedlich. Bewertungen mit Hilfe der numerischen Analyse können u.a. dazu genutzt werden, um aktuelle Kurse am Markt im Hinblick auf ihren „fairen“ Wert zu beurteilen. Solche Erkenntnisse fließen auch in Empfehlungen zum Halten, Kaufen oder Verkaufen von Titeln ein.

Fazit

Mit ihrem Rückgriff auf die Numerik folgt die numerische Analyse einer ganz anderen „Philosophie“ als die Fundamentalanalyse und die technische Analyse. Beim Aktienscanner  von AKTIENAUFSTIEG werden jedoch all diese drei Analyseverfahren angewandt, um die bestmögliche Aktienanalyse anzubieten. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Fundamentalanalyse, es werden natürlich auch charttechnische Erkenntnisse einbezogen. Für den Feinschliff sorgt dann das Verfahren der numerische Analyse und rundet die kombinierte Aktienanalyse ab.

 

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